【学习笔记】高等线性代数（1）经典题
希望人没事。
一些秩不等式
- $r(A+B)\le r(A)+r(B)$
- $r\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B\end{pmatrix}\ge r(A)+r(B)$
- $r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$
- $r(AB-I_n)\le r(I_n-A)+r(I_n-B)$
4.15
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，证明：
$$ A^2=A\Leftrightarrow r(A)+r(I_n-A)=n $$
proof
"$\Rightarrow$"：$r(A(I_n-A))\ge r(A)+r(I_n-A)-n$，即 $r(A)+r(I_n-A)\le n$。
又 $r(A)+r(I_n-A)\ge r(A+(I_n-A))=r(I_n)=n$，从而 $r(A)+r(I_n-A)=n$。
“$\Leftarrow$”：只需证 $r(A)+r(I_n-A)=r(I_n)+r(A^2-A)$。
5.5
$A\in M_{m,n}(\mathbb{F})$，$r(A)=r\Leftrightarrow A$ 有一个非 $0$ 的 $r$ 阶子式且所有 $r+1$ 阶子式都是 $0$。
5.8
$A\in M_n(\mathbb{F})$，则：
$$ r(A^*)=\begin{cases}n, & r(A)=n\\1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)<n-1\end{cases} $$
proof
对 $r(A)=n-1$，考虑以 $A$ 为系数的齐次线性方程组的解空间。由 $A A^*=|A|I_n=0$ 知 $A^*$ 的每一列都是该齐次线性方程组的解，于是 $r(A^*)\le 1$。
再由 $r(A)=n-1$ 知存在一个非零的 $n-1$ 阶子式（5.5），从而 $A^*\ne 0$，从而 $r(A^*)=1$。
5.10
$A,B\in M_n(\mathbb{F})$，求证：
$$ (AB)^*=B^*A^* $$
proof（一个用于解决矩阵不可逆的方法）
若 $A,B$ 均可逆，显然。
否则，设 $A(x)=A+xI_n,B(x)=B+xI_n$，存在无数个 $x$ 使得 $A(x),B(x)$ 均可逆（行列式是一个关于 $x$ 的有限次非零多项式），从而：
$$ (A(x)B(x))^*=B(x)^*A(x)^* $$
将 $(A(x)B(x))^*$ 视作关于 $x$ 的多项式，取 $x=0$ 可得：
$$ (AB)^*=B^*A^* $$
6.5
设 $A,B\in M_{m,n}(\mathbb{R})$，则：
$$ |AA^T|\cdot|BB^T|\ge |AB^T|^2 $$
proof
Cauchy-Binet 展开，再用 Cauchy 不等式即可。
7.9
$A\in M_{m,s}(\mathbb{F})$，$\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 和 $\{\beta_1,\cdots,\beta_s\}$ 是 $V$ 中的两个向量组，其中 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 线性无关，且：
$$ (\beta_1,\cdots,\beta_s)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)\times A $$
则 $\dim\mathcal{L}(\beta_1,\cdots,\beta_s)=r(A)$。
proof
$$ \beta_i=a_{1,i}\alpha_1+\cdots+a_{m,i}\alpha_m $$
从而 $\beta_i$ 在 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 下的坐标为 $\gamma_i=(a_{1,i},\cdots,a_{m,i})$，不妨设 $r(A)=r$，$\gamma_1,\cdots,\gamma_r$ 是 $A$ 的列空间的一组基。则 $\mathcal{L}(\beta_1,\cdots,\beta_n)=\mathcal{L}(\beta_1,\cdots,\beta_r)$ 且 $\beta_1,\cdots,\beta_r$ 线性无关。
这是因为，若存在一组 $t_1\cdots,t_r$ 使得：
$$ t_1\beta_1+\cdots+t_r\beta_r=0 $$
则该向量在给定基下的坐标是 $t_1\gamma_1+\cdots+t_r\gamma_r$，由 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 线性无关可知：
$$ t_1\gamma_1+\cdots+t_r\gamma_r=0 $$
这道题说明，对于任意矩阵，乘上一个满秩的方阵之后，秩大小不变（这是因为满秩的方阵只是做了一个“坐标变换”）
7.16
设 $V_1,\cdots,V_m$ 是 $V$ 的真子空间，有：
$$ V_1\cup\cdots\cup V_m\subsetneq V $$
proof
归纳，现在变成 $m=2$。任取 $0\ne\alpha\in V\backslash V_1,0\ne \beta\in V\backslash V_2$，如果 $\alpha\notin V_2$ 或者 $\beta\notin V_1$ 则得证。
否则，有 $\alpha\in V_2,\beta\in V_1$。考虑集合：
$$ \{k\alpha+\beta\mid k\in \mathbb{F}\} $$
可以证明集合中存在元素既不在 $V_1$ 中，也不在 $V_2$ 中。
8.9
$V_1,V_2$ 是 $V$ 的两个子空间，证明：
$$ (V_1+V_2)/V_1\cong V_2/(V_1\cap V_2) $$
proof
首先，$(V_1+V_2)/V_1=\{x+V_1\mid x\in V_1+V_2\}=\{a+b+V_1\mid a\in V_1,b\in V_2\}=\{x+V_1\mid x\in V_2\}$，$V_2/(V_1\cap V_2)=\{x+(V_1\cap V_2)\mid x\in V_2\}$。
定义映射 $\phi:(V_1+V_2)/V_1\to V_2/(V_1\cap V_2), x+V_1\mapsto x+(V_1\cap V_2)$。
首先，$\phi$ 是单射。任取 $a,b\in V_2$ 使得 $a+(V_1\cap V_2)=b+(V_1\cap V_2)$，则 $a-b\in (V_1\cap V_2)\subset V_1$。从而 $a+V_1=b+V_1$。
其次，显然 $\phi$ 是满射。从而 $\phi$ 是线性同构，即有 $(V_1+V_2)/V_1\cong V_2/(V_1\cap V_2)$。
8.10
$V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的一个向量空间，证明：$V$ 是无限维的 $\Leftrightarrow$ 存在 $W\subsetneq V$ 使得 $W\cong V$。
10.4
设 $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维向量空间，$\phi\in \mathcal{L}(V)$，且 $\dim \operatorname{Im} \phi^2=\dim \operatorname{Im} \phi$，求证 $\operatorname{Im}\phi\cap \ker\phi=0$。
proof
首先，$\operatorname{Im} \phi^2\subset \operatorname{Im} \phi$，则 $\operatorname{Im}\phi^2=\operatorname{Im}\phi$。又有：
$$ \dim\operatorname{Im}\phi=\dim \ker \phi\mid_{\operatorname{Im}\phi}+\dim\operatorname{Im} \phi^2 $$
从而：
$$ 0=\dim \ker \phi\mid_{\operatorname{Im}\phi}=\dim(\ker\phi\ \cap\operatorname{Im}\phi) $$
习题 5.7.6.(2)
证明多项式 $x^6+x^3+1$ 在有理数域上不可约。
proof
换元 $x=y+1$，则：
$$ \begin{aligned} x^6+x^3+1&=(y+1)^6+(y+1)^3+1\\ &=y^6+6y^5+15y^4+21y^3+18y^2+9y+3 \end{aligned} $$
在 Eisenstein 判别法中取 $p=3$ 得证。
习题 5.7.9
写出一个次数最小的首一有理系数多项式，使他有下列根：
$$ 1+\sqrt{3}, 3+\sqrt{2}i $$
proof
以 $1+\sqrt{3}$ 为根的极小次数有理系数多项式为 $x^2-2x-2$；以 $3+\sqrt{2}i$ 为根的极小有理系数多项式是 $(x-(3+\sqrt{2}i))(x-(3-\sqrt{2}i))=x^2-6x+11$，两个多项式互质，从而其乘积满足条件。
12.2
对于 $f(x)\in\mathbb{C}[x]$ 和 $a\in\mathbb{C}$，记 $f^{-1}(a)=\{x\in\mathbb{C}\mid f(x)=a\}$。
设 $f(x),g(x)\in\mathbb{C}[x]$ 是两个次数大于 $0$ 的多项式，若：
$$ f^{-1}(0)=g^{-1}(0),f^{-1}(1)=g^{-1}(1) $$
求证 $f(x)=g(x)$。
proof
只需要证明 $|f^{-1}(0)|+|f^{-1}(1)|\ge n+1$ 即可插值得证。
注意到 $f(x)$ 的 $k$ 重根是 $f'(x)$ 的 $k-1$ 重根，表示出 $f'(x)$ 后即可。
习题 5.9.2
已知 $x^3+px^2+qx+r=0$ 的三个根为 $x_1,x_2,x_3$，求一个三次方程以 $x_1^3,x_2^3,x_3^3$ 为根。
solve
注意到 Vieta 定理中都是初等对称多项式的形式，只需将 $(x-x_1^3)(x-x_2^3)(x-x_3^3)$ 展开后把系数表示称初等对称多项式的多项式即可。
习题 5.10.7
求以下参数曲线的直角坐标方程：
$$ \begin{cases} x=t^3+2t+3,\\ y=t^2-t+1. \end{cases} $$
solve
将方程写作：
$$ \begin{cases} t^3+2t+3-x=0,\\ t^2-t+1-y=0. \end{cases} $$
将两者视作 $t$ 的多项式，则两个多项式有公根，结式 $=0$。
将结式视作关于 $x,y$ 的等式即可。
复习题五 29
设 $f(x)=g(h(x))$，其中 $h(x)$ 是 $m$ 次首一多项式，$g(x)$ 是 $n$ 次首一多项式，其根为 $x_1,\cdots,x_n$，求证：
$$ \Delta(f(x))=\Delta(g(x))^m\prod_{i=1}^n\Delta(h(x)-x_i) $$
proof
首先，
$$ g(x)=\prod_{i=1}^n(x-x_i) $$
后面懒得写了。