【学习笔记】高等线性代数（1）速通

真复习不过来了！！！！！

2024.01.22 upd: 好像还行，喜。

线性方程组的导出组

将非齐次线性方程组右侧的常数项换为 $0$ 得到的齐次线性方程组。又称作相伴的齐次线性方程组。

几种特殊矩阵

对角矩阵；
纯量矩阵/标量矩阵：对角矩阵的特殊形式；
上三角矩阵 & 严格上三角矩阵；
共轭矩阵；
非退化的 = 非奇异的 = 满秩，退化的 = 奇异的 = 不满秩；
$GL_n(\mathbb{F})$ ：可逆的 $n$ 阶矩阵的集合；
$A\sim B$：等价 / 相抵，可以通过初等变换互相得到；
相抵标准型；
初等矩阵；
分块对角矩阵；
伴随矩阵：$A^*$ （注意下标是反的！）
Vandermonde 矩阵：$\prod_{i<j}(a_j-a_i)$

第一降阶定理

$$ \begin{vmatrix} A & B\\ C & D \end{vmatrix} =\begin{cases} |A||D-CA^{-1}B|, 若 A 可逆\\ |D||A-BD^{-1}C|, 若 D 可逆 \end{cases} $$

一般用 $-C$ 代替 $C$。（用于简化 $m, n$ 差距较大的矩阵的行列式计算？）

Laplace Theorem

选定一些行 / 列，“枚举”所有可能的列 / 行。

Cauchy-Binet

$A\in M_{m,n}, B\in M_{n,m}$ ，给出一个计算 $|AB|$ 的方法。

Lagrange 恒等式

$$ \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2=\sum_{i<j} \left(a_ib_j-a_jb_i\right)^2 $$

应用 Cauchy-Binet 即可。

坐标与基变换

所有坐标都写作列向量。所有基都是 $n$ 维列向量组成的 $n$ 维行向量。

设 $\{a_1, \cdots, a_n\}$ 与 $\{\beta_1, \cdots, \beta_n\}$ 是 $V$ 的两组基，称 $A$ 是基 $\{a_1,\cdots, a_n\}$ 到基 $\{\beta_1, \cdots, \beta_n\}$ 的过渡矩阵，有：

$$ (\beta_1,\cdots, \beta_n)=(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)\times A $$

注意是在基上右乘 $A$ ！！！
如果把坐标看作列向量，$(x_1,\cdots,x_n)^T$ 和 $(y_1,\cdots, y_n)^T$ 是在两个基下的坐标，则：

$$ (x_1,\cdots,x_n)^T=A\times (y_1,\cdots,y_n)^T $$

**~~真的有点反人类的~~

过渡矩阵都是可逆的（借用“自己到自己的过渡矩阵”来说明过渡矩阵有逆）

子空间的交与和

直和：$V_1\oplus\cdots\oplus V_n$，要求 $\forall i\ne j, V_i\cap V_j=0$（注意这里不是 $\varnothing$）
一种判断直和的方法：

$W=V_1+\cdots+V_n$，$\alpha_1+\cdots+\alpha_n=v=\beta_1+\cdots+\beta_n$，$\alpha_i,\beta_i\in V_i$。则 $\alpha_i=\beta_i$。

（一共有 $5$ 种等价的形式）

对 $W\subset V$，存在 $W'$ 使得 $V=W\oplus W'$，称 $W'$ 是 $W$ 的余空间 / 补空间
$\dim V/W=\dim V-\dim W$，若 $\{\alpha_1+W,\cdots,\alpha_m+W\}$ 是 $V/W$ 的一组基，则 $\mathcal{L}(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)\oplus W=V$。

向量空间的同构

同构映射

$V,W$ 是向量空间，$\phi:V\to W$ 是双射。若 $\phi$ 满足：

$\phi(\alpha+\beta)=\phi(\alpha)+\phi(\beta)$
$\phi(k\alpha)=k\phi(\alpha)$
称 $\phi$ 是一个同构映射或同构（线性同构），称 $V$ 和 $W$ 同构，记作 $V\cong W$。

线性映射

以上 $\phi$ 的性质，去掉双射，称作一个线性映射。
$V\to V$ 的线性映射：线性变换（投影）。

几个特殊的线性映射

$f(x)\mapsto 0$：零映射
$U\subset V$，包含映射 $\iota:U\hookrightarrow V, \alpha\mapsto \alpha$（单射）
自然投射 $\pi:V\to V/U,\alpha\mapsto \alpha+U$（满射）
恒等变换：$\text{id}_V=1V:V\to V, \alpha\mapsto\alpha$
数乘变换 / 纯量变换：$\alpha\mapsto k\alpha$

$\mathcal{L}(V, W)=\{\phi:V\to W| \phi 是线性映射\}$，$\mathcal{L}(V, \mathbb{F})$ 中的线性映射称作线性函数。记 $V^*=\mathcal{L}(V,\mathbb{F})$ ，称作 $V$ 的对偶空间。

$\mathcal{L}(V)=\mathcal{L}(V,V)$，定义乘法为 $\circ$ （复合），于是 $\mathcal{L}(V)$ 具有一个环结构。
向量空间结构 + 环结构：$\mathbb{F}$ - 代数。

线性映射的像与核

$\phi$ 单射 $\Leftrightarrow$ $\ker\phi=0$，$\phi$ 满射 $\Leftrightarrow \operatorname{Im}\phi=W$。
$W/\operatorname{Im}\phi$ 为 $\phi$ 的余核，$\operatorname{Coker} \phi$。
$r(\phi)=\dim\operatorname{Im}\phi$，$\phi$ 的秩；$\dim\ker\phi$，$\phi$ 的零度。

Rank-Nullity Theorem

$\phi:V\to W$，则有：

$$ \dim\operatorname{Im}\phi+\dim\ker\phi=\dim V $$

$\mathcal{L}(V,W)\cong M_{m,n}(\mathbb{F})$

设 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\},\{\beta_1,\cdots,\beta_m\}$ 是 $V,W$ 的一组基，那么：

$$ \phi(\alpha_i)=a_{1,i}\beta_1+\cdots+a_{m,i}\beta_m $$

$A=(a_{m,n})$ 是 $\phi$ 在以上两个基下的矩阵，且：

$$ (\phi(\alpha_1),\cdots,\phi(\alpha_n))=(\beta_1,\cdots,\beta_m)\times A $$

于是可以推知 $r(A)=\dim\operatorname{Im}\phi$。

线性变换 & 不变子空间

作为 $\mathbb{F}$ - 代数，$\mathcal{L}(V)$ 与 $M_n(\mathbb{F})$ 是同构的（自同态代数）

设 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\},\{\beta_1,\cdots,\beta_n\}$ 是 $V$ 的两组基，从 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 到 $\{\beta_1,\cdots,\beta_n\}$ 的过渡矩阵是 $P$。
$\phi$ 在这两个基下的矩阵分别是 $A,B$，则：

$$ B=P^{-1}AP $$

对于 $A,B\in M_n(\mathbb{F})$，如果存在可逆矩阵 $P$ 使得：

$$ B=P^{-1}AP $$

那么称 $A,B$ 相似或者共轭。记作 $A\sim B$ 或 $A\approx B$。

$\phi\in \mathcal{L}(V)$，如果 $U\subset V$ 有 $\phi(U)\subset U$，称 $U$ 是 $\phi$ 的一个不变子空间。
例：$0, V, \operatorname{Im}\phi, \ker\phi$ 都是 $\phi$ 的不变子空间。

当 $U$ 是 $1$ 维的不变子空间，且取 $0\ne \xi\in U$，有：

$$ \phi(\xi)=\lambda \xi $$

称 $\lambda$ 是 $\phi$ 的特征值，$\xi$ 是 $\phi$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

Fitting Lemma

$\dim V<\infty, \phi\in\mathcal{L}(V)$，则 $\exists m\ge 1$ 使得 $V=\ker\phi^m\oplus\operatorname{Im}\phi^m$。

Sylvester 不等式

$A,B\in M_n(\mathbb{F})$，有：

$$ r(A)+r(B)-n\le r(AB) $$

多项式的相伴

若 $f(x)\mid g(x)$ 且 $g(x)\mid f(x)$，则 $g(x)=cf(x), c\ne 0$，称 $f(x),g(x)$ 是相伴的，记作 $f(x)\sim g(x)$。

Chinese Remainder Theorem

设 $f_1(x),\cdots,f_n(x)\in \mathbb{F}[x]$ 两两互素，则对于任意 $r_1(x),\cdots,r_n(x)\in\mathbb{F}[x]$，存在 $\phi(x)\in \mathbb{F}[x]$ 满足：

$$ \phi(x)=f_i(x)\times q_i(x)+r_i(x) $$

其中 $q_i(x)\in\mathbb{F}[x]$。

不可约多项式 & 因式分解

$k$ 重因式：设 $p(x),f(x)\in\mathbb{F}[x]$ 且 $p(x)$ 不可约，$k\ge 1$，如果：

$$ p(x)^k\mid f(x),\ p(x)^{k+1}\nmid f(x) $$

称 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重因式。$k=1$ 时称作单因式，$k>1$ 称作重因式。

设 $k\ge 1$ 且不可约多项式 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重因式，则：

$k>1$ 时，$p(x)$ 是 $f'(x)$ 的 $k-1$ 重因式；
$k=1$ 时，$p(x)$ 不是 $f'(x)$ 的因式。
则 $f(x)$ 没有重因式 $\Leftrightarrow \gcd(f(x),f'(x))=1$。

多项式函数与多项式的根

余数定理（Little Bezout's Theorem）

设 $f(x)\in\mathbb{F}[x]$ 且 $c\in\mathbb{F}$，则：

$$ f(x)=(x-c)q(x)+f(c) $$

其中 $q(x)\in \mathbb{F}[x]$。
特别地，$c$ 是 $f(x)$ 的根 $\Leftrightarrow (x-c)\mid f(x)$。
（根据带余除法，$f(x)=(x-c)q(x)+r$，带入 $x=c$ 即可）

如果存在 $k$ 满足：

$$ (x-c)^k\mid f(x),(x-c)^{k+1}\nmid f(x) $$

称 $c$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重根，$k=1$ 时称 $c$ 是单根。

设 $f(x),g(x)\in \mathbb{F}[x]$，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 作为多项式相等 $\Leftrightarrow f(x)$ 与 $g(x)$ 作为多项式函数相等。
该推论对于有限域上的多项式不成立！！！

设 $0\ne f(x)\in \mathbb{C}[x]$ 且 $f(x)\mid f(x^n)$ 其中 $n>1$。则 $f(x)$ 的根只能是 $0$ 或单位根。

设 $c$ 是 $f(x)$ 的根，则 $f(c)=0\Rightarrow f(c^n)=0$，即 $c^n$ 也是 $f(x)$ 的根。从而：

$$ c,c^n,c^{n^2},\cdots $$

都是 $f(x)$ 的根。必然存在 $s<t$ 使得：

$$ c^{n^s}=c^{n^t}\Rightarrow c=0 \operatorname{or} c^{n^t-n^s}=1 $$

复系数与实系数多项式

Fundamental Theorem of Algebra

任意一个次数大于零的复系数多项式至少有一个复根。

$\mathbb{R}$ 上的不可约多项式要么是一次的，要么是二次多项式：

$$ ax^2+bx+c, \operatorname{where} b^2-4ac<0 $$

（从 $\mathbb{R}$ 上不可约多项式的复根考虑）

Vieta 定理

若数域 $\mathbb{F}$ 上的一元 $n$ 次多项式：

$$ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n $$

在 $\mathbb{F}$ 中有 $n$ 个根 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，则：

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n x_i &=-\dfrac{a_1}{a_0}\\ \sum_{1\le i<j\le n} x_ix_j &=\dfrac{a_2}{a_0}\\ \sum_{1\le i<j<k\le n} x_ix_jx_k &=-\dfrac{a_3}{a_0}\\ \cdots\\ x_1x_2\cdots x_n&=(-1)^n\dfrac{a_n}{a_0} \end{aligned} $$

有理系数与整系数多项式

将有理系数多项式转化为整系数多项式

设 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$，若 $\gcd(a_0,\cdots,a_n)=1$，称 $f(x)$ 是一个本原多项式。

Gauss Lemma

两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式

（对任意素数 $p$，考虑两边次数最低的不是 $p$ 倍数的系数）

$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ 是整系数多项式，若 $\dfrac{s}{r}$ 是 $f(x)$ 的一个有理根（$s,r$ 互素），则：

$$ r\mid a_n, s\mid a_0, f(x)=(x-\dfrac{s}{r})q(x)\operatorname{where}q(x)\in \mathbb{Z}[x] $$

设 $c$ 是整系数多项式 $f(x)$ 的一个有理根，则：

$$ \dfrac{f(1)}{c-1}(c\ne 1), \dfrac{f(-1)}{c+1}(c\ne -1) $$

都是整数。
（$f(x)=(x-c)q(x)$，其中 $q(x)\in\mathbb{Z}[x]$，将 $x=\pm 1$ 带入即可）

Eisenstein 判别法

设 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\in \mathbb{Z}[x]$，其中 $n\ge 1, a_n\ne 0$，若存在一个素数 $p$ 满足：
$$ p\mid a_i(i=0,1,\cdots,n-1),\ p\nmid a_n,\ p^2\nmid a_0 $$ 则 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中是不可约的。

（反证，通过找 $p$ 不整除的最低次项系数（由于 $p\nmid a_n$ 知一定存在）导出矛盾）

有时候会对有理系数多项式进行一些变形，再应用 Eisenstein 判别法。

多元多项式

$\mathbb{F}[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ 是一个交换的 $\mathbb{F}$ - 代数，称它是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 元多项式代数 / $n$ 元多项式环。

在排序单项式的时候，一般按照变元次数的字典序排列。

齐次子空间

记 $R=\mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]$，对于 $\forall m\ge 0$，用 $R_m$ 表示 $R$ 中所有 $m$ 次齐次多项式与零多项式构成的子集合。则 $R_m$ 是 $R$ 的子空间，且：

$$ \{x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}\mid k_1+k_2+\cdots+k_n=m\} $$

是 $R_m$ 的一组基。特别地，

$$ \dim_{\mathbb{F}} R_m=\binom{n+m-1}{m} $$

而且：

$$ R_mR_s\subset R_{m+s} $$

事实上有：

$$ R=\bigoplus_{m\in\mathbb{N}} R_m $$

称 $R=\mathbb{F}[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ 是一个 $\mathbb{N}$ - 分次代数。

设 $0\ne f\in \mathbb{F}[x_1,x_2,\cdots,x_n]$，则存在 $c_1,c_2,\cdots,c_n\in \mathbb{F}$ 使得 $f(c_1,c_2,\cdots,c_n)\ne 0$。
（对 $n$ 做数学归纳法即可）
于是，$f(x_1,\cdots,x_n)=g(x_1,\cdots,x_n)\Leftrightarrow$ 在所有 $c_1,\cdots,c_n\in \mathbb{F}$ 上都有 $f(c_1,\cdots,c_n)=g(c_1,\cdots,c_n)$。

对称多项式

幂和对称多项式：

$$ s_m(x_1,\cdots,x_n)=x_1^m+\cdots+x_n^m $$

完全齐次对称多项式（注意下标之间是 $\le$ 号）：

$$ h_m(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{1\le i_1\le \cdots\le i_m\le n} x_{i_1}\cdots x_{i_m} $$

初等对称多项式（下标之间是 $<$ 号）：

$$ \sigma_m=\sum_{1\le i_1<\cdots<1_m\le n} x_{i_1}\cdots x_{i_m} $$

对称多项式基本定理

设 $f(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]$ 是一个对称多项式，则存在 $\mathbb{F}$ 上唯一的多项式 $g(y_1,\cdots,y_n)$ 使得：
$$ f(x_1,\cdots,x_n)=g(\sigma_1,\cdots,\sigma_n) $$

幂和多项式 & Newton 公式

Newton's Identity

若 $1\le k<n$，则：
$$ s_k-s_{k-1}\sigma_1+\cdots+(-1)^{k-1}s_1\sigma_{k-1}+(-1)^kk\sigma_k=0 $$
若 $k\ge n$，则：
$$ s_k-s_{k-1}\sigma_1+\cdots+(-1)^n s_{k-n}\sigma_n=0 $$

一个引理：
设 $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\in \mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n,x]$。
则对于 $k\ge 1$，有：

$$ x^{k+1}f'(x)=(s_0x^k+s_1x^{k-1}+\cdots+s_k)f(x)+g(x) $$

其中 $g(x)$ 作为 $x$ 的多项式次数小于 $n$。

利用 Newton 公式，一方面可以将幂和多项式写成初等对称多项式的多项式，另一方面也可以将初等对称多项式写成幂和多项式的多项式。于是有推论：

设 $f(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]$ 是一个对称多项式，则存在 $\mathbb{F}$ 上唯一的多项式 $g(y_1,\cdots,y_n)$ 使得：
$$ f(x_1,\cdots,x_n)=g(s_1,\cdots,s_n) $$

公因式

设 $f(x),g(x)\in \mathbb{F}[x]$，$d(x)=\gcd(f(x),g(x))$。则 $d(x)\ne 1$ 当且仅当存在非零多项式 $u(x),v(x)\in \mathbb{F}[x]$ 使得：

$$ \deg u(x)<\deg g(x),\deg v(x)<\deg f(x), f(x)u(x)=g(x)v(x) $$

（其实直接看 $\operatorname{lcm}$ 的 $\deg$ 就行）

结式

~~太难打了直接摆了~~

$R(g,f)=(-1)^{nm}R(f,g)$；
$\gcd(f,g)\ne 1\Leftrightarrow R(f,g)=0$ （有非零解，即存在非零的 $u(x),v(x)$）；
则 $f,g$ 在 $\mathbb{C}$ 上有公根 $\Leftrightarrow R(f,g)=0$；
$f,g$ 互素 $\Leftrightarrow R(f,g)\ne 0$；

结式的性质

设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是 $f(x)$ 的所有复根，$\beta_1,\cdots\beta_m$ 是 $g(x)$ 的所有复根，则：

$$ R(f,g)=a_0^m\prod_{i}g(\alpha_i)=(-1)^{nm}b_0^n\prod_{i}f(\beta_i) $$

注意此处 $a_0, b_0$ 指 $f,g$ 的最高次项系数。（每次令 $f(x)=(x-\alpha)f_1(x)$ 归纳）
于是：

$$ R(f,g)=a_0^mb_0^n\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m (\alpha_i-\beta_j) $$

从而 $R(f,gh)=R(f,g)\times R(f,h)$。

应用 I：二元多项式的公共零点

$f(x,y),g(x,y)$ 的公共零点 $(x_0,y_0)$，则 $x_0$ 可以看作 $f(x,y_0),g(x,y_0)$ 的公根，从而 $R_x(f(x,y_0),g(x,y_0))=0$。

$f(x,y),g(x,y)$ 先视作系数在 $\mathbb{F}[y]$ 中，关于 $x$ 的多项式，求出 $R_x(f(x,y),g(x,y))$；
将 $R_x(f(x,y),g(x,y))$ 视作 $y$ 的多项式，找到零点 $y_0$，再进一步找对应的 $x_0$。

应用 II：一元多项式的判别式

设 $f(x)=a_0x^n+\cdots+a_{n-1}x+a_n\in \mathbb{F}[x]$，$\alpha_1,\cdots, \alpha_n$ 是其所有复根，称：

$$ \Delta(f)=a_0^{2n-2}\prod_{1\le i<j\le n}(\alpha_i-\alpha_j)^2 $$

是 $f(x)$ 的判别式。于是有：

$$ \Delta(f)=(-1)^{{n(n-1)}\over 2}a_0^{-1}R(f,f') $$

应用 III：代数数

通过结式证明代数数构成一个数域。