说是线性代数，第一节课却感觉讲的全是抽象代数内容。

第一章 线性方程组（Systems Of Linear Equations）

1.1 数域（Number Field）

1.1.1 定义

设 $\mathbb{F}$ 是 $\mathbb{C}$ 的一个子集，且至少包含两个元素。
如果 $\forall a, b\in \mathbb{F}$ 都有 $a+b, a-b, ab, \dfrac{a}{b}(b\ne 0)\in \mathbb{F}$，则称 $\mathbb{F}$ 是一个数域。

那么 $\mathbb{N, Z}$ 不是数域，$\mathbb{Q,R,C}$ 是数域。

例：

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\ |\ a, b \in\mathbb{Q} \}$
$\mathbb{Q}(i)=\{a+b i\ |\ a, b \in\mathbb{Q} \}$
一般地：设 $d(\ne 0, 1)$ 是一个不含平方因子的整数，则 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})=\{a+b\sqrt{d}\ |\ a, b\in\mathbb{Q}\}$ 是一个数域（二次域）。

$\{a+b \sqrt[3]{2}\ |\ a, b \in \mathbb{Q}\}$ 不是数域。（$\sqrt[3]{2^2}$ 不在集合里）
$\{a+b \sqrt[3]{2}+c \sqrt[3]{2^2}\ |\ a, b, c \in \mathbb{Q}\}$ 是数域。（$2^{\frac{x}{3}}$ 都在里面了）

接着给出一个构造数域的方式。先定义超越数：

若 $\alpha\in \mathbb{R}$ 是超越数，则对于任意不全为 $0$ 的有理数 $a_0,a_1,\cdots,a_m(m\ge 1)$，都有 $a_0+a_1 \alpha+\cdots+a_m \alpha^m\ne 0$。或者说，$\alpha$ 不是任意一个次数 $\ge 1$ 的 有理系数多项式 的根。

例如，$\pi, e, e^{\pi}, 2^{\sqrt{2}}...$ 都是超越数。超越数比代数数多，怎么证明呢，前方的知识以后再来探索吧。

接下来，令：

$$ \mathbb{Q}(\alpha)=\Big\{\dfrac{b_0+b_1\alpha+\cdots+b_n \alpha^n}{a_0+a_1\alpha+\cdots+a_m \alpha^m}\ \Big|\ b_0\cdots b_n,a_0\cdots a_m\in\mathbb{Q},n,m\ge 0, a_0\cdots a_m\text{ 不全为 0} \Big\} $$

则 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 是一个数域。注意到由于 $\alpha$ 是超越数，根据超越数的定义，分母必定非 $0$，所以不会出锅。居然还有超越数这么厉害的数

接着是两个很显然的命题：

• 设 $\mathbb{F}$ 是一个数域，则 $0,1\in \mathbb{F}$。

由于 $\mathbb{F}$ 中至少有两个元素，所以一定 $\exists a\in \mathbb{F}$ 且 $a\ne 0$，则 $1=\dfrac{a}{a}$，$0=a-a$。

• 设 $\mathbb{F}$ 是一个数域，则 $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{F}$。

由于 $1\in \mathbb{F}$，用加法就可以造出所有整数，再用除法就可以造出所有有理数了。

1.2 域

简单来讲，就是非空集合 $+$ 两个二元运算。首先给出一些定义：

笛卡尔积：

设 $X,Y$ 是两个集合，则 $X\times Y=\{(x,y)\ |x\in X, y\in Y\ \}$，称 $X\times Y$ 为 $X,Y$ 的笛卡尔积 / 直积。

代数运算（Algebraic Operation）：

设 $X,Y,Z$ 是三个集合，一个映射 $X\times Y\rightarrow Z$，$(x,y)\mapsto x\circ y$，称为一个代数运算。

二元运算（Binary Operation）：

特别地，当 $X=Y=Z$ 时，一个代数运算 $X\times X\rightarrow X,(x_1,x_2)\mapsto x_1\circ x_2$ 称为 $X$ 上的一个二元运算。

容易发现，$+,-,\times$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的二元运算，但 $\div$ 不是（不能包含 $0$）。然而，$\div$ 是 $\mathbb{Q}^{\times}(=\mathbb{Q}\backslash \{0\})$ 上的二元运算。

接下来给出域的定义：

设 $\mathbb{F}$ 是一个非空集合，且其上有两个二元运算，分别称其为 加法 与 乘法，记作 $+$ 和 $\cdot$。
(F1) $(a+b)+c=a+(b+c),\forall a,b,c\in \mathbb{F}$。
(F2) $a+b=b+a,\forall a,b\in \mathbb{F}$。
(F3) 存在元素 $0\in \mathbb{F}$ 满足 $a+0=0+a=a,\forall a\in \mathbb{F}$。
(F4) 对于任意 $a\in \mathbb{F}$，存在元素 $b\in\mathbb{F}$ 满足 $a+b=b+a=0$。
(F5) $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c),\forall a,b,c\in \mathbb{F}$。
(F6) $a\cdot b=b\cdot a,\forall a,b\in \mathbb{F}$。
(F7) 存在元素 $1\ne 0$ 满足 $a\cdot 1=1\cdot a=a,\forall a\in \mathbb{F}$。
(F8) 对于任意 $0\ne a\in \mathbb{F}$，存在元素 $b\in\mathbb{F}$ 满足 $a\cdot b=b\cdot a=1$。
(F9) $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$。

说人话就是，有结合律、交换律、分配律、且两个二元运算各有单位元与逆元。

例如，$(\mathbb{Q},+,\cdot),(\mathbb{R},+,\cdot),(\mathbb{C},+,\cdot)$ 都是域。

• 若 $(\mathbb{F},+)$ 满足 (F1)(F3)(F4)，称其为 群。
• 若 $(\mathbb{F},+)$ 满足 (F1)(F2)(F3)(F4)，称其为 Abel 群 或 交换群。
• 若 $(\mathbb{F},+,\cdot)$ 满足 (F1)~(F4),(F5)(F7)(F9)，称其为 环（Ring）。
• 若 $(\mathbb{F},+,\cdot)$ 满足 (F1)~(F4),(F5)(F6)(F7)(F9)，称其为 交换环（Commutative Ring）。容易发现，$(\mathbb{Z},+,\cdot)$ 是一个交换环。
• 若 $(\mathbb{F},+,\cdot)$ 满足 (F1)~(F4),(F5)(F7)(F8)(F9)，称其为 除环（Division Ring） 或 体（Skew Field）。$(\mathbb{H},+,\cdot)$ 是一个体（四元数体）但我并不知道它是啥。