第一章 实数与数列

1. 实数

1.1 分割

1.1.1 定义

1.1.1.1 有理数的分割

$A,B$ 为有理数的子集，满足：

• $A,B\ne \varnothing,\mathbb{Q}=A\cup B, A\cap B=\varnothing$
• $\forall x\in A, y\in B, x<y$

称 $(A,B)$ 为 $\mathbb{Q}$ 的一个分割。

对 $A,B$ 中的最大 / 最小元的存在性进行讨论。

1.1.1.2 Dedekind 分割

实际上是在描述实数集。

$\mathbb{R}=\{(A, B)\ |\ (A, B) \text{ 为 } \mathbb{Q} \text{ 的一个分割，} A \text{ 中无最大元}\}$

也就是上述表格后两行的情况。下面直接用 $x=(A,B)$ 来表示。

1.1.2 序（线性序）

1.1.2.1 定义

$x=(A_1, B_1), y=(A_2,B_2)$
若 $A_1\subset A_2$，称 $x\le y$ 或 $y\ge x$。
若 $A_1\subset A_2$ 且 $A_1 \ne A_2$，称 $x<y$ 或 $y>x$。

1.1.2.2 性质

• 反称性：$x\le y$ 且 $y\le x$，则 $x=y$。
• 传递性：$x\le y$ 且 $y\le z$，则 $x\le z$。
• 完备性：$\forall x, y\in \mathbb{R}$，有 $x\le y$ 或 $y\le x$。

1.1.3 四则运算

需要注意的是，我们现在在定义 $\mathbb{R}$ 上的加法，而默认我们已经有了 $\mathbb{Q}$ 上的加法（吧？）

不妨令 $x=(A_1,B_1),y=(A_2,B_2)$。

1.1.3.1 加法

设 $x+y=(A_3,B_3)$，其中：
$A_3=\{r\in \mathbb{Q}\ |\ \exists r_1\in A, r_2\in B,\text{s.t. }r=r_1+r_2\}$，$B_3=\mathbb{Q}\backslash A_3$。

1.1.3.2 减法

首先定义“负元”：

设 $-x=(A_3,B_3)$，其中：
$ A_3=\{r\in \mathbb{Q}\ |\ \exists r_1\in B, r=-r_1, r_1\text{ 不是 } B \text{ 中的最小元}\}$，$B_3=\mathbb{Q}\backslash A_3$。

相当于将有理数轴 reverse 了一下。需要注意 Dedekind 分割中，$A$ 中不能存在最大元。

然后减法就很简单了：

$x-y=x+(-y)$。

1.1.3.3 乘法

根据 $x,y$ 的正负性进行讨论：

• $x\le 0, y\le 0$

设 $x\times y=(A_3, B_3)$，其中：
$A_3=\{r\in \mathbb{Q}\ |\ r<0 \text{ 或 } \exists r_1\in A_1, r_2\in A_2, r_1,r_2>0,\text{ s.t. } r=r_1\times r_2\}$，$B_3=\mathbb{Q}\backslash A_3$。

把 $r<0$ 的部分单独抓出来是因为，两个极小的负数相乘可能会超过 $x\times y$。这基本也是需要根据 $x,y$ 的正负性分类讨论的原因。

• $x\le 0, y<0$：$x\times y=-x\times (-y) $
• $x<0, y<0$：$x\times y=(-x)\times (-y)$

1.1.3.4 除法

首先定义“逆元”：

对于 $x> 0$，设 $x^{-1}$ 或 $\dfrac{1}{x}=(A_3, B_3)$，其中：
$A_3=\{r\in \mathbb{Q}\ |\ r\le 0 \text{ 或 } \exists r_1\in B_1, r_1 \text{ 不是 } B_1\text{ 中的最小元}, r=\dfrac{1}{r_1}\}$，$B_3=\mathbb{Q}\backslash{A_3}$。

和负元差不多。那么对于 $x<0$，自然 $x^{-1}/\dfrac{1}{x}=-(-x)^{-1}$。

然后除法就是：

$x\div y=x\times y^{-1}$。

1.1.4 实数域 $\mathbb{R}$

给出了一车性质。

• 交换律：$x+y=y+x, xy=yx$。
• 结合律：$(x+y)+z=x+(y+z)$。
• 单位元：$x+0=x,x\times 1=x$。
• 逆元：$x+(-x)=0, x\times x^{-1}=1$。
• 分配律：$x\times (y+z)=x\times y+x\times z$。
• 相容性原理：

1) 加法保序性：若 $x\le y$，则 $x+z\le y+z$。
2) 乘法保序性：若 $x\le y$ 且 $z>0$，则 $x\times z\le y\times z$。

1.2. 实数的确界原理 & 连续性原理

1.2.1 定义

令 $X \subset \mathbb{R}$ 且 $X\ne \varnothing$。

1. 若 $\exists c\in \mathbb{R},\text{ s.t. } \forall x\in X, x\le c(x\ge c)$，则称 $c$ 为 $X$ 的一个上界（下界）。
2. 若 $X$ 既有上界又有下界，则称 $X$ 为 有界集。
3. $X$ 有上界，$a$ 为 $X$ 的一个上（下）界，若 $\forall c$ 为 $X$ 的上（下）界，有 $a\le c$（$a\ge c$），则称 $a$ 为 $X$ 的上（下）确界。记上确界 $a=\sup X$，下确界 $a=\inf X$。

1.2.2 确界原理（实数完备性定理）

1.2.2.1 内容

$X\subset \mathbb{R}$ 且 $X\ne \varnothing$，若 $X$ 有上（下）界，则一定有唯一上（下）确界。

1.2.2.2 证明

直接构造出上确界：$A_1=\{r\in \mathbb{Q}\ |\ \exists (A,B)\in X, r\in A\}, B_1=\mathbb{Q}\backslash A_1$。那么：

• $X\subset A_1$，所以 $x=(A_1,B_1)$ 是 $X$ 的上界。
• 若 $x_0=(A_0,B_0)$ 为 $X$ 的上界，$\forall r\in A_1$，由于 $\exists (A,B)\in X$ 使得 $r\in A$，所以 $r\in A_0$。于是 $A_1\subset A_0$，也就是 $x\le x_0$。故 $x$ 是 $X$ 的上确界。$\square$

为什么看起来感觉这么平凡？？？真的假的。

1.3. 实数的分割

1.3.1 定义

$A, B$ 是 $\mathbb{R}$ 的子集，满足：

1. $A,B\ne \varnothing,A\cap B=\varnothing, A\cup B=\mathbb{R}$。
2. $\forall x\in A, y\in B$，有 $x<y$。
   则 $(A,B)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个分割。

其实和有理数的分割非常相似。

1.3.2 实数连续性定理

1.3.2.1 内容

$\forall \mathbb{R}$ 的一个分割 $(A,B)$，则 $(A,B)$ 对应到唯一的实数 $\alpha$，且 $\alpha$ 或为 $A$ 的最大元，或为 $B$ 的最小元。

1.3.2.2 证明

由确界原理（实数完备性定理）可知：$A$ 有上确界 $\alpha$，分为以下两种情况：

• $\alpha \in A$，已经满足条件。
• $\alpha \notin A$，由于 $A\cup B=\mathbb{R}$，所以 $\alpha \in B$ 且是 $B$ 中最小元。$\square$

注意到上述证明，是用“实数完备性定理”证明“实数连续性定理”。

1.3.2.3 用“实数连续性定理”证明“实数完备性定理”

对于 $X\subset \mathbb{R}$，$X\ne \varnothing$，若其存在上界 $c$，分为以下两种情况：

1. $c\in X$，那么显然 $c$ 为其上确界。
2. $c\notin X$，不妨令 $B=\{\beta|\beta\text{ 为 }X\text{ 上界}\},A=\mathbb{R}\backslash B$，则 $(A,B)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个分割。于是其对应唯一实数 $\alpha$，且 $\alpha$ 为 $A$ 中最大元 / $B$ 中最小元。

$\qquad\qquad$(i) $\alpha$ 为 $B$ 中最小元，即 $\alpha$ 为 $X$ 的上确界。

$\qquad\qquad$(ii) $\alpha$ 为 $A$ 中最大元。由于 $X\subset A$，因此 $\alpha$ 一定是 $X$ 的上界，故 $\alpha\in B$，矛盾。$\square$

1.3.2.4 例 1

1.3.2.4.1 内容

对于集合 $X=(0,1)$，证明 $\sup X=1$。

1.3.2.4.2 证明

假设 $\sup X=x\in X$。而 $x<\dfrac{1+x}{2}\in X$，矛盾。于是 $\sup X\notin X$，从而推出 $\sup X=1.\square$

1.3.2.5 例 2

1.3.2.5.1 内容

证明 $\sqrt{2}$ 的存在性，即求证 $\exists \gamma \text{ s.t.} \gamma^2=2$。

1.3.2.5.2 证明

“通过 $\ge \le$ 的方法证明”

我们令 $X=\{x|x^2<2\}$，$\sup X=\gamma$。首先，显然有 $\gamma\in(1,2)$。

先证 $\gamma^2\ge 2$。

反证法。假设 $\gamma^2<2$，尝试构造 $\omega\in(0,\gamma) \text{ s.t. } (\gamma+\omega)^2<2$ 来推出矛盾。

$$ (\gamma+\omega)^2=\gamma^2+2\gamma\omega+\omega^2<\gamma^2+3\gamma\omega<2 $$

于是取 $\omega=\dfrac{2-\gamma^2}{3\gamma}>0$ 即可推出矛盾。

再证 $\gamma^2\le 2$。

一样反证法。假设 $\gamma^2>2$，尝试构造 $\omega\in(0,\gamma) \text{ s.t. } (\gamma-\omega)^2>2$ 来推出矛盾。

$$ (\gamma-\omega)^2=\gamma^2-2\gamma\omega+\omega^2>\gamma^2-2\gamma\omega>2 $$

于是取 $\omega=\dfrac{\gamma^2-2}{2\gamma}>0$ 即可推出矛盾。

于是，可知 $\gamma^2=2$，即 $\exists \gamma\text{ s.t. }\gamma^2=2$。$\square$

1.3.2.6 有限或无限小数表示实数

$(A,B)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个分割，现在要用小数表示这个分割所代表的实数。

首先令 $a_0\in A\cap \mathbb{Z} \text{ s.t. } a_0+1\in B$。

接下来取 $a_1\in\{0,1,\cdots,9\}$，满足：$\overline{a_0.a_1}\in A$ 而 $\overline{a_0.a_1}+\dfrac{1}{10}\in B$。

不断重复此过程，使得 $\overline{a_0.a_1a_2\cdots a_n}\in A$ 且 $\overline{a_0.a_1a_2\cdots a_n}+\dfrac{1}{10^n}\in B$。

注意数字之间是有小数点的

1.3.2.7 有理数表示无限循环小数

小学奥数。

2. 数列及敛散性

2.1 数列

2.1.1 定义

本质是 $\mathbb{N}\to \mathbb{R}$，$n\mapsto a_n$ 的映射。

记作 $\{a_n\}$ 或者 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$。

2.1.2 极限

设 $\{a_n\}$ 为实数列，若：

$$ \forall \epsilon > 0, \exists N \text{ s.t. 当 } n>N \text{ 时 } |a_n-a|<\epsilon $$

称 $a\in\mathbb{R}$ 是 $\{a_n\}$ 的极限。

称 $a$ 是 $\{a_n\}$ 的极限，$\{a_n\}$ 是收敛数列。

记作：$\text{lim}_{n\to \infty} a_n=a$ 或 $a_n\to a(n\to \infty)$

若 $\{a_n\}$ 不收敛于任何实数，称 $\{a_n\}$ 为发散序列。

2.2 例 1

2.2.1 内容

(1) $\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=0$

(2) $\lim_{n\to\infty} \dfrac{n^2}{2n^2+1}=0$

(3) $\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{q^n}=0(|q|>1)$

2.2.2 证明

(1) $\forall \epsilon>0, N=\Big\lfloor\dfrac{1}{\epsilon}\Big\rfloor$，当 $n>N$ 时 $\Big|\dfrac{1}{n}\Big|<\epsilon.\square$

(2) $\forall \epsilon>0$，要求 $\Big|\dfrac{n^2}{2n^2+1}-\dfrac{1}{2}\Big|=\dfrac{1}{4n^2+2}<\dfrac{1}{n}<\epsilon$，取 $N=\Big\lfloor\dfrac{1}{\epsilon}\Big\rfloor$...

(3) 不妨设 $q>1$，$q=1+\alpha$。$\dfrac{1}{q^n}=\dfrac{1}{(1+\alpha)^n}<\dfrac{1}{n\alpha}<\epsilon$，取 $N=\Big\lfloor\dfrac{1}{\alpha\epsilon}\Big\rfloor$...

2.3 例 2

2.3.1 内容

求证：

$$ \lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}}=1 $$

2.3.2 证明

$\forall \epsilon>0$，我们希望 $0<n^{\frac{1}{n}}-1<\epsilon$，即 $1<n<(1+\epsilon)^n$。

只需 $\dfrac{n}{(1+\epsilon)^n}<1$。二项式定理展开，选择合适的项进行放缩，例如此处我们选择 $\epsilon^2$ 项：

$$ \dfrac{n}{(1+\epsilon)^n}<\dfrac{2n}{n(n-1)\epsilon^2}=\dfrac{2}{(n-1)\epsilon^2}<1 $$

取 $N=\Big\lfloor\dfrac{2}{\epsilon^2}\Big\rfloor$ 即可。$\square$

2.4 例 3

2.4.1 内容

令 $a_n=(-1)^n$，求证 $\{a_n\}$ 发散。

2.4.2 证明

设 $a\ge 0$ 为 $\{a_n\}$ 的极限。

$\forall \epsilon\in(0,1), |a_{2n-1}-a|=1+a>\epsilon$，矛盾。$\square$

3. 收敛数列的性质

3.1 收敛的有界性和唯一性

3.1.1 定义（有界数列）

若 $\exists M>0\text{ s.t. }\forall n\in \mathbb{N}, |a_n|<M$，则称 $\{a_n\}$ 为有界数列。

3.1.2 定理

(1) 收敛数列有界。

(2) 收敛数列的极限唯一。

3.1.3 证明

(1) $\{a_n\}$ 收敛于 $a$。令 $\epsilon=1, \exists N\text{ s.t. }$ 当 $n>N, |a_n|<|a|+1$。取 $M=\max\{a_1,a_2,\cdots,a_n,|a|+1\}$，则 $\forall n\in \mathbb{N},|a_n|\le M$。$\square$

(2) 若 $\{a_n\}$ 收敛于 $a,b(a<b)$，取 $\epsilon =\dfrac{b-a}{2}$，当 $n$ 足够大：

$\qquad$ 法一：$|a-b|=|a-a_n+a_n-b|\le|a-a_n|+|a_n-b|<\epsilon+\epsilon=b-a$，矛盾。$\square$

$\qquad$ 法二：$\exists N_1 \text{ s.t. }n>N_1,|a-a_n|<\epsilon$，$\exists N_2 \text{ s.t. }n>N_2,|b-a_n|<\epsilon$，取 $N=\max\{N_1,N_2\}$...

3.2 子列

3.2.1 定义

称 $\{b_n\}$ 为 $\{a_n\}$ 的子列，若严格单调递增序列 $k_n(n>m,k_n>k_m) \text{ s.t. }b_n=a_{k_n}$。

通常记作 $\{a_{k_n}\}$。

3.2.2 定理

3.2.2.1 内容

收敛数列的子列一定收敛。

3.2.2.2 证明

$\{a_n\}$ 收敛于 $a$。

$\forall \epsilon > 0, \exists N \text{ s.t. }$ 当 $n>N$ 时，$|a_n-a|<\epsilon$

$\{a_{k_n}\}=\{b_n\}$ 为 $\{a_n\}$ 的子列，$k_n>N$ 时 $|a_{k_n}-a|<\epsilon.\square$